مقدمه
نظریه‌ی گرانش تاریخی طولانی دارد و همان طور که می‌دانیم قانون گرانش نیوتن (عکس مجذوری) اصلی‌ترین مبنای این نظریه در چهارچوب غیر نسبیتی است. قانون کولن در الکتریسیته منجر به پدید آمدن این ایده شد که اگر بار الکتریکی ساکن میدان کولنی و بار متحرک میدان مغناطیسی تولید کند، بنا به راین جرم متحرک نیز باید میدانی مشابه میدان مغناطیسی تولید کند که آن را میدان گرانش مغناطیسی (مغناطوگرانش) می‌نامند. نظریه نسبیت عام در آغاز معرفی‌اش در سال ۱۹۱۵، بنیان تجربی مستحکمی نداشت. مشخص شده بود که این نظریه حرکت تقدیمی حضیض خورشیدی تیر (عطارد) را به درستی توضیح می‌دهد و از نظر فلسفی نیز به خوبی قانون جهانی گرانش نیوتن را با نسبیت خاص یکپارچه می‌ساخت. اینکه بنا بر پیش بینی نسبیت عام نور در میدان‌های گرانشی خم می‌شد در سال ۱۹۱۹ کشف شده بود، اما آزمون‌های دقیق این نظریه از سال ۱۹۵۹ آغاز شد که پیش بینی‌های آن با دقت‌های بیشتری مورد آزمایش در محدوده میدان‌های ضعیف قرار گرفت. با شروع از سال ۱۹۷۴، تپ اخترهای دوتایی مورد مطالعه قرار گرفتند که امکان تجربه میدان‌های گرانشی بسیار قوی‌تر از آنچه در منظومه شمسی یافت می‌شود را فراهم می‌ساخت. در هر دو مورد محدوده میدان‌های ضعیف (مانند آنچه در منظومه شمسی یافت می‌شود) و میدان‌های قوی‌تر تپ اخترهای دوتایی، پیش بینی‌های نسبیت عام به خوبی به طور محلی مورد آزمایش قرار گرفته‌اند [1]. در نیمه دوم قرن نوزدهم هولزمولر2 [1] و تیسراند3 [2] نشان دادند که نیروی گرانش خورشید که بر سیارات منظومه شمسی وارد می‌شود دارای یک مؤلفه اضافی مغناطیسی است و این نیروی اضافی منجر به حرکت تقدیمی سیارات در مدار می‌شود؛ بر این اساس به عنوان عامل حرکت تقدیمی حضیض سیارات در نظر گرفته شدند [1،2]. سپس اینشتین توضیحی بر اساس تصحیحات گرانش الکتریکی4 مربوط به پتانسیل گرانش نیوتن خورشید ارائه داد؛ نسبیت عام یک نظریه میدان مربوط به گرانش است و شامل میدان گرانش مغناطیسی به علت جریان جرم نیز می‌شود. در واقع نظریه‌ی میدان گرانش مغناطیسی را می‌توان به عنوان یکی از نتایج ادغام گرانش نیوتنی و ناوردایی لورنتز در نظر گرفت.
بر اساس نسبیت عام گردش خورشید به دور خود یک میدان گرانش مغناطیسی تولید می‌کند و تأثیر این میدان بر مدارهای سیاره‌ای ابتدا به وسیله دسیتر5 [5] و سپس به شکلی عام‌تر توسط لنز و تیرینگ6 [4] نشان داده شد و مشخص شد که سهم گرانش مغناطیسی در حرکت تقدیمی حضیض سیارات در مقایسه با حرکت اصلی گرانش الکتریکی، باید کوچک‌تر و در جهت مخالف باشد؛ در حقیقت معلوم شد که حرکت تقدیمی لنز-تیرینگ7 بسیار کوچک‌تر از آن است که در حال حاضر مشخص شود.
از طرف دیگر شواهدی از میدان گرانش مغناطیسی زمین توسط سیوفولینی8 و به وسیله ماهواره‌های گستره لیزری لاجیوس I و II ارائه شد [6]. سیوفولینی پیشنهاد کرد که اندازه گیری دقیق این میدان به وسیله ژیروسکوپ های ابر رسانا در ماهواره‌ی واقع در مدار قطبی در اطراف زمین صورت گیرد که یکی از اهداف پروژه GP-B سازمان ناسا می‌باشد [40،7].
گرانش خطی شده9، یکی از روش‌های تقریب زدن در نسبیت عام است که در آن جملات غیرخطی از متریک فضا زمان نادیده گرفته می‌شوند تا علاوه بر ساده‌تر سازی مطالعه برخی مسائل، بتوان همچنان پاسخ‌های تقریبی قابل قبولی به دست آورد. در یک تقریب میدان ضعیف، از تقارن‌های پیمانه‌ای به صورت هم شکلی دیفرانسیلی10 استفاده می‌شود که در آن بنا به تعریف η تغییر شکل نمی‌دهد. تقریب میدان ضعیف در یافتن مقادیر بعضی از ثابت‌ها در معادلات میدان اینشتین و متریک شوارتزشیلد مفید است.
در فصل اول به کلیات گرانش و نسبیت عام پراخته می‌شود، سپس در فصل دوم، با شروع از معادلات میدان اینشتین، معادلات ماکسول گرانش الکترومغناطیسی استخراج می‌شود و تانسور متریک مربوط به ان بدست می‌آوریم و نیز نشان داده می‌شود که سقوط آزاد در میدان جسم متحرک با جرم زیاد را می‌توان به عنوان حرکت تحت نیروی لورنتزی در نظر گرفت که به وسیله میدان‌های گرانشی به وجود آمده است. سپس قضیه‌ی لارمور در گرانش بیان می‌شود.
در فصل سوم، فرمول‌بندی لاگرانژی از رویکرد اختلال خطی را که در پژوهش‌های مربوط به گرانش مغناطیسی مورد استفاده می‌باشد ارائه می‌شود. در فصل چهارم، اثر ساعت، اثر جفت شدگی اسپین –چرخش –گرانش و اثر میدان گرانشی بر انتشار سیگنال‌ها تشریح می‌شود و با استفاده از اثر میدان گرانشی بر انتشار سیگنال‌ها، اختلاف زمان انتشار را در حضور یک منبع چرخان بدست می‌آوریم و پیشنهادهایی در این به اره مطرح می‌گردد. هدف اصلی ما در این پایان نامه تشریح و توضیح برخی از اثرات میدان گرانش مغناطیسی است.
فصل اول: کلیات گرانش و نسبیت عام
فصل اول
کلیات گرانش و نسبیت عام
1-1 گرانش و نسبیت عام
ابداع نسبیت عام پدیده‌ای خاص در معرفت شناسی علم نوین است. انگیزه‌ی آن مغایرت نظریه‌های موجود، از جمله گرانش نیوتونی، با تجربه و رصد نبود. نظریه گرانش نیوتون در ابعاد زمینی و نیز در منظومه شمسی با دقت زیاد پدیده‌ها را توصیف و پیش بینی می‌کرد. تنها در مورد حضیض عطارد حدود 40 ثانیه قوسی در قرن از 2000 ثانیه قوسی مشکل توضیح داشت که آن هم به حرکت‌های نامنظم در منظومه و یا دقت رصد واگذاشته شده بود.

پس از اینکه در سال 1907 مینکوفسکی نسبیت خاص انشتین رابه صورت چهار بعدی فرمول بندی کرد و فضازمان مینکوفسکی را وارد مفاهیم فیزیک کرد، اینشتین با توجه به اصل ماخ کوششی را برای نسبیتی کردن گرانش شروع کرد. پوآنکاره در سال چند ماه پیش از مقاله نسبیت خاص انشتین، در مقاله خود که دو اصل نسبیت را فرمول بندی کرده بود، مدلی هم از یک میدان گرانش نرده‌ای نسبیت خاصی ارایه داده بود.
اینشتین از رهیافتی شروع کرد که می‌خواست اصل ماخ و هم ارزی شتاب و گرانش را به طریقی در چارچوب نسبیت بیاورد. او می‌دانست که بیان شتاب در نسبیت خاص باعث می‌شود متریک تخت مینکوفسکی در ظاهر به یک متریک فضازمان ناتخت، شبه-ری‌مانی، تبدیل شود. 5 سال طول کشید تا توانست اولین فرمول بندی خود را برای گرانش در بیان متریک یک فضای ریمانی و معادلات دینامیکی متناظر باآن را ارایه دهد. سرانجام در سال 1915، توانست فرمول بندی کنونی نسبیت عام خود را ارایه دهدبه این ترتیب نظریه پیچیده‌ای به دست آمد که انگیزه آن صرفا معرفت شناختی بود و مبتنی بود براصل ماخ و نسبیت. توضیح انتقال حضیض عطارد و به تبع آن انتقال حضیض بقیه سیاره‌ها پس ازآن که جواب معادلات نسبیت عام برای توزیع ماده با تقارن کروی را شوارتزشیلد پیدا کرد ممکن شد.
گرچه در 1918 اولین آزمون مستقیم نسبیت عام یعنی انحراف نور از کنار خورشید ثبت شد، ولی این اهمیت معرفت شناختی نسبیت عام بود که در معرفت بشری تحول ایجاد کرد. تصور اینکه فضا ویژگی‌هایی دارد وابسته به ماده آن چنان به دور از بینش چند هزار ساله انسان بود که به راحتی پذیرفته نشد، به ویژه برای فلاسفه پذیرفتی نبود. از طرف دیگر ریاضیات به نسبت پیچیده آن باعث شد کمتر به آن عنوان نظریه‌ای فیزیکی نگاه شود. این روال تا آخر دهه 1950 که اثر موسیازر در فیزیک اتمی کشف شد، چنین بود. پس از کشف اثر موسیازر امکان تحقیق انتقال به سرخ گرانشی در طیف اتم‌ها در آزمایشگاه به وجود آمد. پس از اولین آزمون از این نوع نسبیت عام به مرور به عنوان نظریه‌ای فیزیکی پذیرش عام یافت. شوک اصلی یا کشف تابش زمینه کیهانی در سال 1965 اتفاق افتاد. هنگامی که با پذیرش دینامیک برای عالم، مدل‌هایی برای عالم و انبساط آن ساخته شد و معلوم شد عالم از یک مهبانگ شروع به انبساط کرده‌است.
گرانش:ضعیف‌ترین برهم کنش، جهانی بودن گرانش
دو برهمکنش الکترو مغناطیسی و گرانش در ابعاد بزرگ حاکمند. مقایسه این دو بیانگر شدت یا ضعف یکی نسبت به دیگری است. برای این منظور شدت این برهم کنش‌ها را برای دو ذره (دو پروتون) مقایسه می‌کنیم:
(1-1)
این نشان می‌دهد که گرانش بسیار ضعیف یعنی بسیار ضعیف‌تر از الکترو مغناطیسی است. همین طور می‌توان ثابت ساختار ریز الکترومغناطیسی را با ثابت ساختار ریز گرانش مقایسه کرد:
(1-2)
که همان مرتبه بزرگی ضعیف بودن گرانش را نشان می‌دهد. برای جرم‌های زیاد، گرانش برالکترومغناطیسی یا هر برهم کنش دیگری پیشی می‌گیرد.
1-2 اثرهای نسبیت عامی کجا وارد می‌شوند؟
به دو روش می‌توان به این سوال‌ها پاسخ داد. اول اینکه منشا گرانش را جرم می‌گیریم. به هر جرمی می‌توانیم طولی نسبت دهیم که به آن طول یا شعاع شوارتزشیلد می‌گویند:
(1-3)
ضریب 2 در اینجا تعیین کننده نیست اما چون بعدها لزوم آن را از معادلات اینشتین در می‌یابیم اینجا نیز وارد کرده‌ایم. با دانستن این شعاع می‌گوییم گرانش در اطراف جرمی مرکزی به فاصله‌ی بسیار بیشتر از این شعاع همان گرانش نیوتونی حاکم است، یعنی گرانش ضعیف است. برای خورشید این شعاع از مرتبه کیلومتراست و نسبت این شعاع شوارتزشیلد به شعاع خورشید برابر است با:
(1-4)
که این ضعیف بودن گرانش را در اطراف خورشید نشان می‌دهد. این نسبت برای یک سیاره نوترونی برابر √3 است که نشان می‌دهد باید منتظر پدیده‌های جدیدی در اطراف یک ستاره نوترونی باشیم.
روش دوم استفاده از ویژگی انحنای فضا است. به انحنا در هر نقطه یک شعاع انحنا نسبت داده می‌شود. مقایسه مقیاس‌های مورد بحث با این شعاع هم شهود دیگری از ضعف یا شدت گرانش به ما می‌دهد [47].
1-3 حرکت در یک میدان گرانش
با این شناخت از حرکت شتاب دار و تعمیم ریمانی، حالا فرض می‌کنیم متریک در فضا زمانی با حضور گرانش باشد. ذره آزاد در این فضا، شبیه به ذره آزاد در نسبیت خاص و فضای مینکوفسکی باید به گونه‌ای باشد که
(1-5)
معادله اویلر-لاگرانژ این وردش، یعنی:
(1-6)
به دست می‌آید:
(1-7)
نتیجه می‌شود :
(1-8)
که در آن
(1-9)
می‌توان پارامتر مسیر را طوری تعیین کرد که سمت راست معادله صفر بشود:
(1-10)
این خم‌های ژئودزیک می‌توانند زمان-گونه،نور-گونه یا فضا –گونه باشند. اگر قرار باشد مسیر حرکت آزاد ذره‌ای دنبال شود،پس باید با ژئودزیکی زمان گونه سر و کار داشته باشیم.
گیریم در یک میدان گرانش ضعیف باشیم، یعنی:
(1-11)
در این صورت باید داشته باشیم:
(1-12)
بنابراین معادله ژئودزیک می‌شود:
(1-13)
برای شاخص‌های گوناگون داریم:
اما
(1-14)
و از آنجا
(1-15)
پتانسیل گرانشی است. گیریم توزیع جرمی کروی داشته باشیم و بخواهیم حرکت را در نزدیکی آن بررسی کنیم. در این صورت:
(1-16)
بنابراین:
(1-17)
و متریک به دست می‌آید [47]:
(1-18)
1-4 گرانش به عنوان یک میدان تانسوری در فضای مینکوفسکی
اینشتین برای فرمول بندی نسبیت عام، بنا را بر اصل هم ارزی گذاشت. اصل ماخ که مجموعه‌ای از ایده‌هاست، انگیزه‌ی مهمی در فرمول بندی نسبیت عام بود. بنابراین اصل، ماده‌ی موجود در جهان تعیین کننده‌ی ساختار فضا- زمان است. به تعبیر دیگر مفاهیم(لخت) و (نا چرخان) بدون وجود ماده در جهانی بی معنی می‌شوند. اما می‌توان این سوال را نیز مطرح کرد: چرا نتوان گرانش را در فضا- زمان تخت مینکوفسکی فرمول بندی کرد. یعنی با این فرض که ساختار فضا-زمان ثابت است،چه اشکالی در فرمول بندی گرانش پیش می‌آید.
اولین بار پوانکاره در سال 1905 کوشید گرانش نیوتونی را در قالب نسبیت خاص درآورد. نورداستروم در سال 1912 یک نظریه‌ی میدان نسبیتی با استفاده از یک میدان نرده‌ای برای گرانش فرمول بندی کرد. اینشتین و فوکر در سال 1914 و برگمن در سال 1956 نیز نظریه‌های نرده‌ای برای گرانش ارایه دادند. پیشگویی تمام این نظریه‌ها در مورد انحراف نور و پیشروی حضیض عطارد با داده‌های مغایرت دارد.
1-5 لاگرانژی فیرتز- پائولی
برای بیان گرانش به صورت یک میدان نسبیت خاصی، میدانی متناظر با ذره‌ای به جرم سکون صفر در نظر می‌گیریم، در غیر این صورت برد برهم کنش گرانشی متناهی می‌شود که مغایر با تجربه است. به علاوه ذره‌ی واسط برهم کنش گرانشی(گراویتون) نمی‌تواند فرمیون باشد. فرمیون بی جرم با اسپین 2/1 (نوترینو) جوابگوی گرانش نیست و همین طور فرمیون های دیگر همین‌گونه است. از میان بوزون ها نیز میدان نرده‌ای متناظر با اسپین صفر جوابگوی گرانش نیست. ذره‌ی اسپین یک با یک میدان برداری نمایش داده می‌شود که به الکترودینامیک می انجامد و ذرات واسط آن بار مثبت و منفی دارند. به این ترتیب انتظار می‌رود گراویتون، ذره‌ی واسط برهم کنش گرانشی، دارای اسپین دو باشد که الزاماً با یک میدان تانسوری نمایش داده خواهد شد. فیرتز و پائولی برای اولین بار در دهه‌ی 30 قرن گذشته لاگرانژی یک میدان تانسوری بی جرم را در چارچوب نسبیت خاص فرمول بندی کردند.
لاگرانژی فیرتز-پائولی به این صورت است:
(1-19)
این لاگرانژی تحت تبدیلات پیمانه‌ای
(1-20)
ناورداست. در اینجا توابع دلخواه وK ثابت دلخواهی است با بعد معکوس جرم. K را با معکوس جرم پلانک یکی می‌گیریم:
که در آن G ثابت نیوتون است .معادلات اویلر-لاگرانژ، معادلات میدان به صورت زیر در‌ می‌آیند:
(1-21)
که در آن عملگر چنین تعریف شده است:
(1-22)
می‌توان نشان داد که این عملگر برای ‌ای متقارن در اتحاد زیر صدق می‌کند:
(1-23)
که آن را اتحاد به یانکی می‌نامند.
مطالعه‌ی جزی‌تر و حرکت یک ذره در آن میدان گرانش برای اولین بار توسط تیرینگ انجام شده است. تیرینگ نشان داد که در تقریب اول حرکت ذره در این میدان به گونه‌ای است که گرچه میدان در فضای مینکوفسکی نوشته شده است اما ذره روی مسیری حرکت می‌کند که مانند فضازمان ری‌مانی با متریک
و مسیر یک خم ژئودزیک آن است. پس به نظر می‌رسد حرکت ذره در حضور گرانش به گونه‌ای است که متریک فضای تخت معنی خود را از دست می‌دهد و به جای آن متریک فضای ریمانی می‌نشیند، و (ذره‌ی آزاد) در این میدان روی ژئودزیک های این فضا حرکت می‌کند. تیرینگ این واقعیت را تنها در تقریب اول نشان داد. به این معنی که بیان حرکت ذره در میدان تانسوری معادله‌ی میدان را ناسازگار می‌کرد و برای رفع این ناسازگاری افزودن جمله‌هایی از مرتبه‌ی دوم میدان به معادله‌ی میدان الزام آور می‌شد. تیرینگ رفع این ناسازگاری را که در هر مرتبه ظاهر می‌شد تنها تا همان مرتبه‌ی دوم حساب کرده بود.
برای درک بهتر این ناسازگاری ،میدان فیرتز-پائولی را به ماده‌ی دلخواهی جفت می‌کنیم. گیریم تانسور انرژی تکانه ی ماده در میدان باشد،پس معادله‌ی میدان به صورت زیر در می‌آید:
(1-24)
اما از این معادله‌ی میدان نتیجه می‌شود که واگرایی باید صفر باشد:
(1-25)
که این شرط اضافی بر رفتار ماده و میدان است. بنابراین معادله‌ی میدان با خواص ماده ناسازگار است. برای رفع این
ناسازگاری جمله‌ی را به سمت راست معادله می‌افزاییم:
(1-26)
جمله‌ی تانسور انرژی تکانه ی میدان تانسوری تلقی می‌شود، پس باید از مرتبه‌ی دوم در میدان باشد و این جمله هم باید در اتحاد زیر صدق کند:
(1-27)
پس خواهیم داشت:
(1-28)
این تانسور افزوده از مرتبه‌ی دوم در تانسور میدان است. در این مرحله متوجه می‌شویم که برای سازگار کردن معادلات میدان به ناچار جملات ناخطی (مجذوری) در سمت چپ معادله‌ی میدان وارد شده‌است. این جملات مجذوری باید ناشی از یک لاگرانژی مرتبه‌ی سوم در باشد. اما تانسور انرژی تکانه ی لاگرانژی ، از مرتبه‌ی سوم است.
روش تیرینگ این ناسازگاری را در حرکت ذره به خوبی به تصویر می‌کشد و نشان می‌دهد که برای رفع آن باید مسیر ذره را خمی ژئودزیک در فضای ری‌مانی در نظر گرفت. به این ترتیب سازگاری معادلات میدان منجر به جمع زدن روی یک سری بین‌هایت می‌شود. اوگیه وتسکی و پولوبارینوف در سال 1965 نشان دادند که این سری بینهایت به معادلات نسبیت عام اینشتین می‌انجامد. این محاسبه به حدی پیچیده بود که توجه چندانی به آن نشد، گرچه نتیجه آن پذیرفته شد [48].
1-6 بردار و همبردار
گیریم Fمجموعه‌ی (فضای) توابع مشتق پذیر Fروی Mدر همسایگی P باشد. آن گاه بردار مماس در نقطه Pرا به این صورت تعریف می‌کنیم:
(1-29)
به گونه‌ای که شرط زنجیره‌ای برقرار باشد:
این بردارهای مماس یک فضای برداری تشکیل می‌دهند و به سهولت می‌توان دید که باید یک بردار باشد:
(1-30)
فرض کنیم مختصات داده شده باشد، پس می‌توانیم طبق شرط زنجیره‌ای بنویسیم:
(1-31)
که در آن بردار (عملگر) u است که روی تابع عمل می‌کند. مؤلفه های بردار نسبت به این مختصات به صورت زیر است:
پس می‌نویسیم:
(1-32)
به این ترتیب n بردار مماس را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
(1-33)
پس می‌توان هر بردار را به صورت ترکیب خطی این n بردار نوشت. استقلال خطی این بردارها از روی مؤلفه‌هایشان دیده می‌شود:
(1-34)
1-7 هم بردار
هم- بردار یا بردار همزاد (دوگان)، یک فونکسیونال (تابعال) خطی است روی فضای بردارهای TPیک هم – بردار است هرگاه به ازای داشته باشیم:
(1-35)
شرایط خطی بودن را می‌نویسیم:
(1-36)
ضرب هم- بردارها در یک عدد و نیز جمع آن‌ها به صورت زیر تعریف می‌شوند:
(1-37)
به این ترتیب، هم برادرها یک فضای برداری تشکیل می‌دهند: TP، که به آن فضای همزاد مماس و نیز فضای هم مماس گفته می‌شود. برای تعریف پایه در فضای TP از پایه‌های ei در فضای TPاستفاده می‌کنیم.
(1-38)
حالا تابعال هایی را که بردار u را بهui می‌نگارد با ei نشان می‌دهیم:
(1-39)
بنابراین می‌توانیم بنویسیم:
(1-40)
می‌دانیم که eهم-بردار است. برای داریم:
(1-41)
اگر تعریف کنیم آن گاه به علت دلخواه بودن u:
(1-42)
از تعریفe برمی‌آید که این هم بردارها نیز مستقل از یکدیگرند. بنابراین، می‌توان e-ها را بردارهای پایه در فضای هم مماس تلقی کرد. اکنون به عنوان یک مثال، دیفرانسیل یک تابع را در نظر می‌گیریم. اگر f تابع دلخواهی باشد، df را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
(1-43)
می‌نویسیم:
(1-44)
یعنی دیفراسیلی که اینجا تعریف کردیم یک هم برداراست که بیانگر بخش متناهی دیفراسیل متعارف بدون جمله‌ی بین‌هایت کوچک ds است . اکنون اگر باشد می‌توان نوشت:
(1-45)
چون ei پایه TP است نتیجه بالا به دست می‌آید. به همین دلیل هم بردارها را تک فرم دیفرانسیلی نیز می‌نامند و dxi-ها را می‌توان یک پایه در فضای هم- مماس تلقی کرد. این پایه، { dxi}، همزاد (دوگان)پایه‌ی { } در فضای مماس است. هم- بردارها را بردار هموردا و همین طور بردارها را بردار پادوردا می‌نامند[49].
1-8 خم وخم ژئودزیک

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

نگاشت از بازه ی به خمینه ی Mرا یک خم می‌نامیم. پس به ازای هر پارامتر tیک نقطه روی خمینه تعریف می‌شود. مجموعه بردارهای مماس در نقطه‌های روی خم را می‌توان میدانی برداری در امتداد خم نامید. هر گاه هم که میدانی برداری وابسته به یک پارامتر روی خمینه تعریف شود می‌توان خمی به آن وابسته دانست که میدان برداری در هر نقطه همان بردار مماس برخم به معنی متعارف آن باشد. در این صورت از خم انتگرالی میدان برداری صحبت می‌کنیم. به این ترتیب هم می‌توان دید که مشتق هموردا در امتداد بردار X متناظر با انتقال موازی در امتداد خم انتگرالی بردار X است.
اکنون خم را در نظر می‌گیریم. با استفاده از مشتق هموردا مشتق جدیدی وابسته به خم،یا مشتق هموردا در امتداد میدان برداری،تعریف می‌کنیم که آن را با نشان می‌دهیم. مشتق هموردای تانسور دلخواه Tدر امتداد برابر است با که در آن بردار پادوردای وابسته به پارامتر t است. حالا مشتق هموردا در امتداد بردار را این گونه می‌نویسیم:
(1-46)
که در آن X بردار مماس است.با انتخاب مختصات،خم با مختصات بیان می‌شود:
(1-47)
به این ترتیب برای یک میدان برداری Y مشتق هموردا می‌شود:
(1-48)
توجه داریم که .
با این تفسیر از انتقال موازی می‌گوییم Y در امتداد به طور موازی منتقل می‌شود هر گاه:
(1-49)
به منظور درک بهتر این مفهوم انتقال دو نقطه p و q را روی خم در نظر می گیریم انتقال موازی با تعبیر بالا برای برادرها را حالا می توان به هر تانسور در فضای مماس تعمیم داد. این اتقال موازی نگاشتی است خطی که را به می برد. این نگاشت یک ایزومورفیسم است. مثلا یک پایه در qبه یک پایه در pمنتقل می شود. خمی راژئودزیک می نامیم که بردارمماس براین خم ، یعنی بردار ، در امتداد به موازات با خودش منتقل شود،یعنی همواره بر خم مماس بماند. بردار منتقل شده، یعنی:
به شرطی با خودش موازی است که
(1-50)
باشد پارامتر t را می توان طوری اختیار کرد که ضریب f صفر شود. در این صورت پارامتر خم را آفین می نامیم و حالا با s نشان می دهیم:
(1-51)
پس هر گاه بردار مماس را روی خم را به صورت بنویسیم، شرط
انتقال موازی بردار مماس،یا شرط ژئودزیک بودن خم، می شود:
(1-52)
1-9 متریک
تا اینجا برای هیچ یک از مفهوم‌هایی که مرتبط با خمینه تعریف کردیم احتیاج به متریک نبود، یعنی هنوز مفهومی برای تعیین فاصله روی خمینه نداریم.حتی برای تعریف پیچش و انحنا نیز به تعریف فاصله نیاز نبود. اکنون می‌پردازیم به مفهوم متریک، تانسوری است ناتکین از نوع (2 و0) و متقارن:
(1-53)
در پایه موضعی می‌نویسیم
(1-54)
پس مؤلفه های متریک می‌شود
(1-55)
که بنا بر تعریف متقارن است. در مختصات موضعی ،یا پایه‌های هولونرم،می‌توان نوشت
(1-56)
چون متریک ناتکین و متقارن است وارون ماتریس مؤلفه های آن، ،وجود دارد:
(1-57)
به کمک این ماتریس وارون می‌توان تانسوری از نوع (0 و2) ساخت:
(1-58)
به کمک تانسورهای و می‌توان هر تانسور T از نوع (s،r) را با حفظ مرتبه تغییر داد:

(1-59)
همین روابط بر حسب مؤلفه‌ها می‌شود:
(1-60)
هرگاه را در یک نقطه قطری کنیم، آنگاه کمیت
را نشانگان متریک می‌نامند.
اگر:
(1-61)
در این صورت شاخص‌ها با عمل مشتق گیری هموردا جا به جا پذیرند:
(1-62)
این ویژگی در محاسبه‌های تانسوری مؤثر است:
(1-63)
و یا:
(1-64)
این رابطه با انتخاب مختصات موضعی می‌شود:
(1-65)
اکنون پیچش را صفر فرض می‌کنیم. پس در شاخص‌های پایین متقارن است.
در نتیجه:
(1-66)
که همان نمادهای کریستوفل می‌باشند.
فاصله دو نقطه روی خمینه، و ، را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
(1-67)
برای فاصله دو نقطه 1 و 2 :
اکنون با استفاده از متریک می‌توان برای مفاهیمی که تاکنون تعریف کرده‌ایم تفسیر جدیدی بیابیم. چند نمونه را در زیر می‌آوریم. به کمک متریک حاصل ضرب داخلی دو بردار X وY را به صورت که در هر نقطه یک عدد است تعریف می‌کنیم. پس می‌نویسیم
(1-68)
بنابراین،می‌توان چنین تعبیر کرد که متریک به هر بردار u یک هم بردار نسبت می‌دهد:
(1-69)
چون یک نگاشت خطی روی Tp است،پس یک هم بردار است. تأثیر این نگاشت در مؤلفه‌ها به صورت پایین آوردن شاخص است. عمل معکوس،یعنی نسبت دادن یک بردار به هم- بردار با معکوس متریک انجام می‌شود. این گونه است که بردارها و هم- بردارها به هم وابسته می‌شوند و ما در فیزیک معمولاً تفاوت آن‌ها را فراموش می‌کنیم.
در اثرانتقال موازی در امتداد خمی در Mحاصل ضرب داخلی دو بردار Xو Yتغییر نمی‌کند.
(1-70)
انتقال موازی به معنی 0=DX است.
پایه‌ی متعامد معمولاً به مختصات بستگی دارند. اما همواره می‌توان پایه‌های ناهولونرم را طوری تعریف کرد که
(1-71)
متریک اجازه می‌دهد خم ژئودزیک نوع دیگری تعریف کنیم. خمی را ژئودزیک بگوییم که فاصله‌ی میان هر دو نقطه‌ی آن کمینه (فرینه)باشد. اگر این فاصله را S بنامیم، داریم:
(1-72)
و سپس مسئله‌ی فرینال را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
(1-73)
خمی که را صفر می‌کند، ژئودزیک نامیده می‌شود. انتگرال ده را از زیر رادیکال در می‌آوریم و می‌نویسیم:
(1-74)
معادله اویلر- لاگرانژ بر اساس L نوشته می‌شود:
(1-75)
اما
(1-76)
بنابراین:
(1-77)
یا
(1-78)
ادغام با می‌دهد:
(1-79)
این معادله‌ی خم ژئودزیک است که قبلاً ، بدون اینکه متریک تعریف شده باشد به دست آمد. بنابراین، خم ژئودزیک، به معنی خمی که بردار مماس آن همواره به موازات خودش منتقل می‌شود، اگر هم وستار را متناظر با متریک بگیریم همان خم فرینه است.
این معادل ژئودزیک را حالا بر حسب سرعت می‌نویسیم:
(1-80)
داریم:
(1-81)
پس
(1-82)
این رابطه برای پارامتر آفین به دست آمده است. اگر پارامتر آفین نباشد باید بنویسیم:
(1-83)
که در آن φ تابعی دلخواه است.
1-10 شکل اصلی متریک کر
متریک کر را می‌توان به مختصات دکارتی به صورت زیر نوشت:
(1-84)
که در آن:
(1-85)
در نتیجه داریم:
(1-86)
واضح است که متریک کر همه جا تحلیلی است مگر در:

دسته بندی : پایان نامه ارشد

پاسخ دهید